## Multiple variable regression analysis

In multiple variable regression analysis, the dependent variable y depends on various independent variables Xi, x2... x^:

where:

Xk = k-th independent variable y = dependent variable e = error term or residual

0k = regression slope for variable x

0O = y-axis intercept

Least squares multiple variable regression analysis is similar to the single variable case outlined in Section 4.1.

The estimated regression equation is:

This equation can also be calculated from the data set by a computer.

The firm of architects from the single variable regression analysis example wants a regression model that better fits the data. To this end more properties of the houses are added to the database. The database now has data on the following properties of each house:

• Gross floorspace;

• Usable floorspace;

• Number of floors the roof spans.

### Table 4.2 shows the content of the database.

As shown in the single regression example the usable floorspace has a larger correlation coefficient than the gross floorspace. Still, the question arises whether both should be taken into account when performing the multiple regression analysis. This should be done if both variables do not correlate to each other. Both describe more or less the same property of a house, so caution is warranted to prevent multi-collinearity. We therefore carry out a test

Type |
[m2] |
Usable floorspace [m2] |
Surface area fagade [m2] |
Number of floors |
Number of floors roof spans | |

3A |
98,352 |
163 |
122.20 |
60.00 |
2.50 |
1.00 |

3AK |
117,887 |
163 |
122.20 |
149.00 |
2.50 |
1.00 |

3B |
121,408 |
173 |
122.20 |
153.00 |
2.50 |
1.00 |

3C |
106,772 |
163 |
128.10 |
68.00 |
2.50 |
1.00 |

8A |
95,422 |
142 |
111.40 |
37.00 |
2.50 |
2.00 |

8B |
108,140 |
168 |
132.70 |
58.00 |
2.50 |
2.00 |

8C |
107,689 |
161 |
125.30 |
42.00 |
2.50 |
2.00 |

8D |
111,181 |
137 |
93.50 |
77.00 |
2.50 |
2.00 |

5B |
104,175 |
178 |
133.70 |
66.00 |
2.50 |
1.00 |

5C |
121,962 |
188 |
133.70 |
157.00 |
2.50 |
1.00 |

5E |
112,513 |
178 |
139.20 |
75.00 |
2.50 |
1.00 |

6A |
100,905 |
158 |
122.70 |
39.00 |
2.50 |
2.00 |

6B |
114,288 |
194 |
151.90 |
51.00 |
2.50 |
2.00 |

6C |
122,941 |
167 |
122.90 |
120.00 |
2.50 |
2.00 |

6D |
131,675 |
172 |
126.40 |
126.00 |
2.50 |
2.00 |

7A |
95,360 |
147 |
121.10 |
41.00 |
2.50 |
2.00 |

7AK |
112,445 |
147 |
121.10 |
121.00 |
2.50 |
2.00 |

7B |
117,433 |
195 |
148.20 |
51.00 |
2.50 |
2.00 |

7BK |
134,518 |
195 |
148.20 |
131.00 |
2.50 |
2.00 |

7E |
114,288 |
194 |
151.90 |
93.00 |
2.50 |
2.00 |

7F |
113,625 |
147 |
121.10 |
85.00 |
2.50 |
2.00 |

1A |
139,567 |
169 |
153.00 |
105.00 |
4.00 |
0.50 |

1AK |
177,639 |
169 |
153.00 |
244.00 |
5.00 |
0.50 |

1AK2 |
184,950 |
204 |
184.60 |
125.00 |
5.00 |
0.50 |

4A |
136,986 |
210 |
171.70 |
80.00 |
3.50 |
2.00 |

4B |
191,438 |
215 |
192.80 |
228.00 |
3.50 |
2.00 |

4C |
192,753 |
235 |
203.00 |
183.00 |
3.50 |
2.50 |

4D |
167,405 |
215 |
182.40 |
121.00 |
3.50 |
2.00 |

5A |
118,838 |
194 |
161.70 |
74.00 |
2.50 |
1.00 |

5AK |
140,294 |
194 |
161.70 |
179.00 |
2.50 |
1.00 |

5D |
147,366 |
203 |
166.80 |
200.00 |
2.50 |
1.00 |

□ Microsoft Excel - e_ra-2ods ill] Fie Edit View Insert Format lools Data Window WB! Help i 1 rf J i.j .J 4 ?» * -J A - J -)-<»- ft > • i.

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A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
1 |
J |
K |
L |
— | |

1 |
Cost price |
Gross fs. |
Usable fs. |
Facade |
Floors |
:loors-roof | |||||||

2 |
Type 3A |
98352 |
163 |
122.2 |
60 |
2.5 | |||||||

3 |
Type 3A |
117887 |
163 |
122.2 |
148.92 |
2.5 | |||||||

4 |
Type 3B |
121408 |
173 |
122.2 |
153 |
2.5 | |||||||

5 |
Type 3C |
106772 |
163 |
128.1 |
68 |
2.5 | |||||||

6 |
Type 8A |
95422 |
142 |
111.4 |
37 |
2.5 |
2 | ||||||

7 |
Type 8B |
108140 |
168 |
132.7 |
58 |
2.5 |
2 | ||||||

8 |
Type 8C |
107689 |
161 |
125.3 |
42 |
2.5 |
2 | ||||||

9 |
Type 8D |
111181 |
137 |
93.5 |
77 |
2.5 |
2 | ||||||

10 |
Type 5B |
104175 |
178 |
133.7 |
66 |
2.5 |
1 | ||||||

11 |
Type 5C |
121962 |
188 |
133.7 |
157 |
2.5 |
1 | ||||||

12 |
Type 5E |
112513 |
178 |
139.2 |
75 |
2.5 |
1 | ||||||

13 |
Type 6A |
100905 |
158 |
122.7 |
39 |
2.5 |
2 | ||||||

14 |
Type 6B |
114288 |
194 |
151.9 |
51 |
2.5 |
2 | ||||||

15 |
Type 6C |
122941 |
167 |
122.9 |
120 |
2.5 |
2 | ||||||

16 |
Type 6D |
131675 |
172 |
126.4 |
126 |
2.5 |
2 | ||||||

17 |
Type 7a |
95360 |
147 |
121.1 |
41 |
2.5 |
2 |
— | |||||

18 |
Type ta |
112445 |
147 |
121.1 |
120.75 |
2.5 |
2 |
HI | |||||

19 |
Type 7B |
117433 |
195 |
148.2 |
51 |
2.5 |
2 | ||||||

20 |
Type 7B |
134518 |
195 |
148.2 |
130.75 |
2.5 |
2 |
Ir | |||||

21 |
Type 7E |
114288 |
194 |
151.9 |
92.8 |
2.5 |
2 |
s | |||||

22 |
Type 7F |
113625 |
147 |
121.1 |
85 |
2.5 |
2 | ||||||

23 |
Type 1A |
139567 |
169 |
153 |
105 |
4 |
0.5 | ||||||

?4 |
Tvoe 1A |
177639 |
169 |
153 |
243.51 |
5 |
0.5 | ||||||

n < ► nlVsheetl/ Sheet2 /Sheet3 / |
< |
1 |
Jjj |

Figure 4.11 Data from database in spreadsheet to see whether these properties correlate to each other. If they do, only one should be taken into account.

To carry out this test, in cell D33 we type:

This shows the correlation coefficient (r = 0.93) from which you can conclude that they indeed correlate. This means we should not take both into account but only the one that best correlates to the cost price. From the previous example we know that the usable floorspace correlates best to the cost price.

To carry out the regression analysis we first add the data to an empty Excelsheet as shown in Figure 4.11.

Select the menu item 'Tools/Data analysis' and then select 'Regression' from the list. This opens up a new window where you have to select the 'Input Y range' and the 'Input X range'. The 'Input Y range' is the range of cells containing the cost prices, in this case cells B2 through B32. The 'Input X range' is the range of cells containing the data on the different properties, in this case cells D2 through G32. After adding these ranges press the 'OK' button to carry out the analysis. This will output the results on a new worksheet as shown in Figure 4.12.

This output shows that the model now fits the data much better because the value of 'R Adjusted' (cell B6) equals 0.95.

FJe Edit View Insert Format Tools Data Window WB! Help Type a question for help - _ iS X

J A Là ¿J I d! iA I y £11 * ^ a - <f I "J - ' I & z - Si il I S - © 1

Anal - io ' I B I u I m m m g I $ % t las ¿ig | ïw iw I EE - & - A -1

A1 -r j& SUMMARY OUTPUT_

FJe Edit View Insert Format Tools Data Window WB! Help Type a question for help - _ iS X

J A Là ¿J I d! iA I y £11 * ^ a - <f I "J - ' I & z - Si il I S - © 1

Anal - io ' I B I u I m m m g I $ % t las ¿ig | ïw iw I EE - & - A -1

A1 -r j& SUMMARY OUTPUT_

A I B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
j |
K |
L |
- | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

1 |
SUMMAR |
OUTPUT | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

3 |
Regress/on Statistics | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

4 |
Multiple R |
0.979386 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

5 |
R Square |
0.959197 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

6 |
Adjusted |
0.952919 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

7 |
Standard I |
6084.239 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

8 |
Obseivatio |
31 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

9 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

10 |
ANOVA | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

11 |
df |
SS |
MS |
F |
qnificance |
F | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

12 |
Regressio |
4 |
2.26E+1Û |
5.66E+Û9 |
152.8009 |
1.17E-17 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

13 |
Residual |
26 |
9.62E+08 |
37017964 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

14 |
Total |
30 |
2.36E+10 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

15 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

16 |
Coefficientifandard Err |
tStat |
P-value |
Lower 95% Upper 95% ower 95. Q9'pper 95.0°/ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

17 |
Intercept |
-13450.6 |
7483.928 |
-1.79727 |
0.083919 |
-28834.1 |
1932.793 |
-28834.1 |
1932.793 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

18 |
X Variable |
412.128 |
58.24576 |
7.075673 |
1.63E-07 |
292.4021 |
531.8539 |
292.4021 |
531.8539 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

19 |
X Variable |
220.6636 |
23 81237 |
9.266761 |
1.01E-09 |
171.7165 |
269.6106 |
171.7165 |
269.6106 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

20 |
X Variable |
16062.93 |
2119.084 |
7.580129 |
4.79E-08 |
11707.09 |
20418.77 |
11707.09 |
20418.77 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

21 |
X Variable |
8360.701 |
2088.98 |
4.002289 |
0.000465 |
4066.742 |
12654.66 |
4066.742 |
12654.66 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

22 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

23 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

►IF | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

H < ► n|\Sheet4 / Sheetl /Sheet2 |
5heet3 / |
<l |
Ready NUM Figure 4.12 Multiple regression analysis output in spreadsheet The equation to predict the deviation can be derived from the 'Intercept' (cell B17) and the 'X Variable' (cell B18 and B19). The equation is: y = -13450.6 + 412.128xx + 220.6636x2 + 16062.93x3 + 8360.701x4 (4.9) where:
If you examine the different factors of the equation, you will notice that the first two factors regarding the usable floorspace and surface area of the façade have a substantially lower magnitude in comparison to the last two factors regarding the number of floors and the number of floors the roof covers. This is quite plausible because it is likely that an increase of the number of floors or the number of floors the roof spans with one floor has a substantially bigger effect on the cost price than an increase of the amount of usable floorspace or an increase of the surface area of the façade with one metre. The better fit of the model (higher 'R Adjusted') is due to the fact that more properties affecting the cost price have been taken into account. The fact that Fie Edit View Insert Format lools Data Window WB! Help ! Arial T 10 T B I U m M = Ü I $ % * trio ¿"0 ¡Î ÏP A1 T fx SUMMARY OUTPUT Fie Edit View Insert Format lools Data Window WB! Help ! Arial T 10 T B I U m M = Ü I $ % * trio ¿"0 ¡Î ÏP A1 T fx SUMMARY OUTPUT
Figure 4.13 Multiple regression analysis output in spreadsheet types 3A and 3AK have the same gross and usable floorspace, but differ in cost price is explained by the difference in surface area of the façade. The difference is due to the fact that these houses are placed at the end of a block of houses and therefore its façade surface area is larger. The number of floors, and the number of floors the roof covers further adds to the precision of the model. Finally, to illustrate the effect of multi-collinearity, we carry out the regression analysis including the gross floorspace. Remember that we established a correlation between the usable and gross floorspace. The results of this analysis are shown in Figure 4.13. This output shows that adding the extra variable 'gross floorspace' does not yield a better fit of the model because the value of 'R Adjusted' (cell B6) being 0.95 equals the value found in the previous analysis. Even worse, the output shows that statistical significance has decreased because the p-value, which was nearing zero in the previous analysis, now has risen to 0.37 and 0.12 respectively. The drop in statistical significance is due to the fact that the variables 'gross floorspace' and 'usable floorspace' are measures for more or less the same property. This results in the model 'having difficulty' distinguishing between the effects of both variables on the cost price of the house. The model therefore yields a lower significance. This phenomenon is called multi-collinearity and is the reason why we used only one of both variables in the regression analysis. |

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